اگر توابع موج اتمی دارای پاریته مشخص باشند، برای حالت حاصل انتگرال صفر می شود چون تابع یک تابع با پاریته فرد می باشد وهمچنین پایته چه فرد باشد وچه زوج، برای پاریته زوج می باشد، در نتیجه داخل انتگرال در مجموع یک تابع فرد است، و با توجه به اینکه انتگرال روی تمام فضاست، پس حاصل انتگرال صفر می شود، یعنی همچنین می توان از معادله (۳-۳) به این نتیجه رسید که می باشد.

میدانهای کنترلی وکاوشگر را بصورت زیر نشان می دهیم:
(۳-۵- الف)
(۳-۵- ب)
در نتیجه با جمع این دو میدان و جایگذاری آن در معادله هامیلتونی اندرکنش ( ۳-۲ ) خواهیم داشت:
(۳-۶)
قسمتهای مزدوج مختلط را جدا می کنیم تا عبارت ساده تری داشته باشیم:
(۳-۷- الف)
(۳-۷- ب)
که در آن نامیزانی میدانهای کنترلی و کاوشگر می باشد و بصورت تعریف می شود، خواهیم دید که در بوجود آمدن رفتار دوپایای نقش کلیدی خواهد داشت.
برای بررسی معادلات حرکت ماتریس چگالی لازم است، ماتریس هامیلتونی کل را که شامل دو قسمت اندرکنشی و غیر اندرکنشی است داشته باشیم، یعنی:
(۳-۸)
همچنین برای سیستم دو ترازی ماتریس چگالی را یک ماتریس در نظر می گیریم:
(۳-۹)
که و با توجه به تعریف ماتریس چگالی، جمعیت ترازهای هستند و و احتمال گذار بین دو تراز را نشان می دهند.
عناصر ماتریس چگالی را می توان از معادلات حرکت ماتریس چگالی بدست آورد:
(۳-۱۰)
عبارت جابجایی را باز می­کنیم و با ضرب ماتریسی و می توان معادلات حرکت ماتریس چگالی در غیاب فرآیندهای واهلشی را می توان از رابطه زیر به دست آورد
(۳-۱۱)
که بسامد گذار بین ترازها می باشد. برای اتمهای دو ترازی، اندیسهای فقط می توانند یکی از دو مقدار را داشته باشند در نتیجه داریم:
(۳-۱۲- الف)
(۳-۱۲- ب)
(۳-۱۲- پ)
به وضوح دیده می شود که، و نشان دهنده آن است که جمعیت کل ترازها یعنی ، کمیتی پایستار می باشد و نسبت به زمان تغییر نمی کند. با توجه به تعریف ماتریس چگالی، میدانیم عناصر قطری احتمال حضور اتم در هر تراز را نشان می دهد، پس با توجه به اینکه یا در تراز است یا در تراز ، مجموع احتمالات حضور اتم در ترازهای و برابر یک می شود:
(۳-۱۳)
همچنین می دانیم که ، بنابراین می توان را با بهره گرفتن از بدست آورد.
برای جملات مربوط به فرآیندهای واهلش، فرض می کنیم سیستم اتمی دو ترازی در نظر گرفته شده، یک سیستم بسته باشد، یعنی تراز b با آهنگ به تراز a واپاشی می کند. پس طول عمر آن با ، نشان داده خواهد شد. معمولاً واپاشی تراز بالاتر به ترازهای پایین از طریق نشر خودبخودی می باشد.
همچنین اگر گشتاور دوقطبی با زمان وافازی کند، پهنای خط گذار دارای پهنای خواهد بود.
در حضور فرآیندهای واهلش، معادلات حرکت ماتریس چگالی بصورت زیر می باشد:
(۳-۱۴- الف)
(۳-۱۴- ب)
(۳-۱۴- پ)
آهنگ واپاشی از تراز | به تراز | با نشان داده شده است و پارامتر نامیزانی فاز اندازه حرکت دوقطبی اتمی است که از پهنای خط گذار پیروی می کند.
با بهره گرفتن از شکل چرخشی موج می توان تغییرات زیر را اعمال کرد:
(۳-۱۵)
برای معادلات حرکت ماتریس داریم:
(۳-۱۶- الف)
(۳-۱۶- ب)
(۳-۱۶- پ)
که نامیزانی میدان کنترلی (پمپ) از گذار تشدید اتمی است. فرکانس رابی برای میدانهای کنترلی وکاوشگر بصورت و به ترتیب تعریف می شوند.
با بهره گرفتن از تعریف پارامتر وارونی جمعیت ، معادلات حرکت ماتریس چگالی می توانند بصورت زیر نوشته شوند:
(۳-۱۷- الف)
(۳-۱۷- ب)
روشن است که با وجود وابستگی به زمان معادلات (۳-۱۷) توسط پارامتر ، سیستم نمی تواند یک حالت پایدار برای حالت پایا داشته باشند. اما اگر میدانهای کنترلی و کاوشگر دارای فرکانس یکسانی باشند داریم و معادلات حرکت ( ۳-۱۶ ) دارای یک ضریب ثابت می شوند و بنابراین می توان جواب ایستا در طول زمان را پیدا کرد.
ابتدا فرض می کنیم که میدانهای کنترلی و کاوشگر در فرکانس یکسانی هستند وداریم . بنابراین در معادلات (۳-۱۶ ) ضریب وابسته به زمان نخواهیم داشت، اما جواب محیط به میدانهای کاوشگر و کنترلی آمیخته خواهد شد، چون فرکانس های کاوشگر و کنترلی یکی خواهند شد و سیستم عملاً یک میدان را می بیند. بنابراین برای و از معادله ( ۳-۱۷) نمی توان جوابی برای دوپایداری نوری بدست آورد. با بهره گرفتن از روش تجزیه ای در معادلات حرکت، مسئله وابسته به زمان را حل می کنیم.
این کار می تواند اختلاف پراکندگی فرآیندهای موجود در پاسخ محیط را، بهبود بخشد.
(۳-۱۸-الف)
(۳-۱۸-ب)
که و جواب برای حالتی هستند که فقط میدان کنترلی می تواند حضور داشته باشد.
توجه داشته باشید که برای پایین ترین مقدار در دامنه میدان کاوشگر ، تنها فرکانسهایی که می توانند در جواب معادلات (۳- ۱۷) حضور داشته باشند برای مقادیر ۰ و هستند.
بنابراین درحضور همزمان میدانهای کاوشگر وکنترلی، اختلاف جمعیت، متناسب با اختلاف فرکانس میدانهای کنترلی و کاوشگر، نوسان هماهنگ دارد.