سیستم زیر را در نظر بگیرید:
(۳-۱)
و  در نظر میگیریم. علامت خنجر بیانگر معکوس Moore-Penrose ^[۳۴] میباشد. آنگاه سیستم توسط فیدبک استاتیک خروجی  پایدار پذیر است اگر و تنها اگر ماتریس های  ،  و  با ابعاد مناسب وجود داشته باشند بطوریکه معادله جبری زیر یک جواب یکتای  داشته باشد.
(۳-۲)
مشکل در این است که در حقیقت نمیتوان به سادگی ماتریس های  ،  و  را انتخاب نمود و همچنین معادله فوق را برای  حل نمود.

1. 1. قابل تعیین بودن کواریانس توسط فیدبک خروجی

ایده اصلی در پشت تئوری کنترل کواریانسی عبارتست از فراهم نمودن یک توصیف از تمامی ماتریس های کواریانس قابل تعیین و پارامتریزه کردن تمامی کنترل کننده هایی که یک کواریانس خاص را تعیین مینمایند (Hotz and Skelton,1987;Yasuda et al.,1993;Skelton and Iwasaki,1993). یک سیستم تصادفی را بصورت زیر در نظر بگیرید:
(۳-۳)
که در آن  اغتشاشی از نویز سفید با میانگین صفر و شدت  میباشد، ماتریس کواریانس حالت پایدار بردار حالت  بصورت زیر تعریف میگردد:
(۳-۴)
که در آن  بیانگر امید ریاضی میباشد. برای یک قانون کنترلی فیدبک استاتیک خروجی  ، به خوبی شناخته شده است که  معادله لیاپانوف زیر را حل مینماید:
(۳-۵)
ماتریس  یک کواریانس قابل تعیین نامیده میشود چنانچه بهره کنترل کننده ای مانند  وجود داشته باشد که معادله فوق را برآورده نماید. چنانچه  پایدار پذیر و  کنترل پذیر باشند آنگاه، با بهره گرفتن از تئوری پایداری لیاپانوف،  معادل پایداری سیستم حلقه بسته میباشد. نتیجه ذیل تمامی کواریانس های قابل تعیین توسط فیدبک استاتیک خروجی را پارامتریزه مینماید (Yasuda et al.,1993).

• • تئوری ۳-۳

ماتریس  یک کواریانس قابل تعیین توسط فیدبک استاتیک خروجی میباشد اگر و تنها اگر  معادلات زیر را برآورده نماید:
(۳-۶)
(۳-۷)
(۳-۸)
که در آن:

یک روش پارامتریزه کردن تمامی بهره های فیدبک استاتیک خروجی که سیستم را پایدار و یک کواریانس قابل تعیین خاص را مشخص مینمایند در ادامه ارائه گردیده است(Yasuda et al.,1993).

• • تئوری ۳-۴

اگر  یک ماتریس کواریانس قابل تعیین باشد. آنگاه تمامی بهره های فیدبک استاتیک خروجی که  را برای سیستم حلقه بسته تعیین میکنند بصورت زیر پارامتریزه میگردند:
(۳-۹)
که در آن:

و  یک ماتریس دلخواه و  یک ماتریس دلخواه پادمتقارن^[۳۵] است.